AI & computing › AI-gestuurde wetenschappelijke ontdekkingen
AI-model Claude Fable 5 vindt tegenvoorbeeld voor 87 jaar oud wiskunderaadsel
Een wiskundige bij AI-bedrijf Anthropic heeft met hulp van het taalmodel Claude Fable 5 een tegenvoorbeeld gevonden voor het Jacobiaans vermoeden, een probleem dat sinds 1939 onopgelost was. De formule past in één social media-post, maar bewijst dat het vermoeden onjuist is voor elke ruimte met drie of meer dimensies.
Het is een zeldzaam moment in de wiskunde: een probleem van bijna een eeuw oud, in één klap weerlegd door een formule die op een bierviltje past. Wiskundige Levent Alpöge, werkzaam bij het AI-bedrijf Anthropic, maakte het nieuws deze zomer terloops bekend op X. Met hulp van het grote taalmodel Claude Fable 5 vond hij een tegenvoorbeeld voor het Jacobiaans vermoeden, een beroemd probleem uit de algebraïsche meetkunde.
Wat is het Jacobiaans vermoeden?
Het vermoeden gaat over polynoomfuncties: rekenregels die punten in een ruimte verplaatsen, zoals coördinaten op een landkaart die verschuiven. Met een wiskundige maat, de Jacobiaanse determinant, kun je bepalen of zo'n functie de ruimte ergens 'plooit' of samendrukt. Blijft die determinant overal een vaste waarde die niet nul is, dan zou er volgens het vermoeden altijd een omgekeerde functie moeten bestaan die alle punten weer terugzet op hun oorspronkelijke plek.
Het tweedimensionale vermoeden werd in 1884 geformuleerd door de Tsjechische wiskundige Ludwig Kraus. De Duitse wiskundige Ott-Heinrich Keller breidde het in 1939 uit naar willekeurig veel dimensies. Fields-medaillewinnaar Stephen Smale zette het probleem in 1998 op zijn lijst van belangrijkste wiskundige vraagstukken voor de eenentwintigste eeuw. Diverse beroemde wiskundigen, onder wie Beniamino Segre en Wolfgang Gröbner, claimden ooit een bewijs, maar telkens doken er fouten op.
Een verrassend simpele oplossing
Juist de eenvoud van Alpöges vondst verbaasde vakgenoten. Hij vond een functie in drie dimensies met een constante Jacobiaanse determinant van -2, die toch meerdere invoerpunten op hetzelfde uitvoerpunt laat landen. Daardoor is de functie niet omkeerbaar en valt het vermoeden om, voor elke dimensie groter dan twee. Alleen de oorspronkelijke tweedimensionale versie uit 1884 blijft open. Omdat de formule zo kort is, konden andere wiskundigen de uitkomst binnen de kortste keren zelf controleren.
Meer dan bewijzen schrijven
De vondst past in een reeks recente doorbraken waarbij AI-modellen meehelpen aan wiskundige ontdekkingen, zoals de weerlegging van het unit distance-vermoeden door een model van OpenAI. Bijzonder aan Alpöges resultaat is dat de moeilijkheid niet zat in een ingewikkeld bewijs, maar in het doorzoeken van een enorme ruimte aan mogelijke polynoomfuncties om er één met de juiste eigenschappen uit te vissen. Dat wijst erop dat AI niet alleen goed is in het uitschrijven van complexe bewijzen, maar ook in het opsporen van onverwachte wiskundige objecten die mensen over het hoofd zagen. Hoe Alpöge het model precies aanstuurde en welke tussenstappen Claude Fable 5 doorliep, is nog niet openbaar gemaakt.
Achtergrond & begrippen
Wat betekent dit voor de toekomst? Deze doorbraak laat zien dat AI-modellen niet alleen bestaande wiskundige bewijzen kunnen uitschrijven, maar ook zelfstandig nieuwe wiskundige objecten kunnen opsporen in enorme zoekruimtes. Dat kan de manier veranderen waarop wiskundigen en wetenschappers te werk gaan: minder handmatig speuren, meer samenwerken met een model dat razendsnel duizenden mogelijkheden aftast. Tegelijk blijft de oorspronkelijke, tweedimensionale versie van het vermoeden nog altijd onopgelost, wat aantoont dat AI de mens niet overbodig maakt maar wel een krachtig hulpmiddel is geworden.
- Jacobiaans vermoeden
- Een wiskundige stelling uit de algebraïsche meetkunde die claimt dat bepaalde polynoomfuncties altijd omkeerbaar zijn als hun Jacobiaanse determinant constant en niet nul is.
- Jacobiaanse determinant
- Een getal dat aangeeft of een wiskundige functie de ruimte om een punt vervormt, samendrukt of ongemoeid laat.
- Polynoom
- Een wiskundige uitdrukking opgebouwd uit machten van variabelen, zoals x² + 2x + 1, die als bouwsteen dient voor veel functies.
- Algebraïsche meetkunde
- Een vakgebied binnen de wiskunde dat de vorm en eigenschappen van objecten bestudeert die worden beschreven door polynoomvergelijkingen.
- Tegenvoorbeeld
- Een concreet voorbeeld dat aantoont dat een wiskundig vermoeden niet klopt.
- Grote taalmodel
- Een AI-systeem dat is getraind op enorme hoeveelheden tekst en data, en dat wordt ingezet om taal te genereren of complexe problemen te helpen oplossen.
Bronnen
Dit artikel is met behulp van AI geschreven op basis van bovenstaande bronnen en is geen letterlijke vertaling. Zo werkt onze redactie.
