Tight-binding-methode: hoe natuurkundigen elektronensprongen in kristallen narekenen
Stel je een rij huizen voor, elk bewoond door iemand die het liefst thuis blijft. Af en toe waagt een bewoner een snelle sprint naar het huis van de buren, voordat hij weer teruggaat. Zo gedragen elektronen zich in veel materialen: ze zitten het grootste deel van de tijd stevig gebonden aan hun eigen atoom, maar kunnen af en toe overspringen naar een naburig atoom. De tight-binding-methode is een rekentechniek waarmee natuurkundigen en materiaalkundigen dat sprong-gedrag van elektronen in kristallen nabootsen, om te voorspellen hoe goed een materiaal stroom geleidt, licht absorbeert of andere elektronische eigenschappen vertoont.
Het is geen apparaat en geen natuurverschijnsel, maar een wiskundig gereedschap: een manier om de ingewikkelde quantummechanica van miljarden atomen in een kristal behapbaar te maken. In plaats van voor elk atoom en elk elektron een volledige berekening te doen, wat zelfs voor supercomputers al snel onhaalbaar wordt, vereenvoudigt de tight-binding-methode het probleem. Ze gaat ervan uit dat elektronen grotendeels lijken op elektronen in een los atoom, met een paar simpele regels voor hoe ze naar buuratomen kunnen overspringen. Die vereenvoudiging bleek verrassend krachtig: ze ligt aan de basis van ons begrip van onder meer grafeen en zogeheten topologische materialen, twee onderwerpen die regelmatig terugkomen in nieuws over toekomstige chips en quantumcomputers.
Wat is het precies?
In een kristal liggen atomen in een herhalend patroon, een rooster. Elk atoom heeft elektronen die normaal om de atoomkern cirkelen in vaste banen, met een vaste energie. Zodra atomen dicht bij elkaar staan, zoals in een vaste stof, overlappen die banen een beetje met die van de buuratomen.
Die overlap betekent dat een elektron niet voor altijd bij zijn eigen atoom blijft. Het kan, met een bepaalde kans, overspringen naar een naburig atoom. Natuurkundigen vatten die kans samen in een enkel getal, de hopping-parameter: hoe groter dit getal, hoe makkelijker een elektron van atoom naar atoom reist en hoe beter het materiaal elektrische stroom geleidt.
Met die twee ingrediënten, de energie die een elektron heeft als het stilzit bij een atoom (de site-energie) en de hopping-parameters naar de buren, bouwen onderzoekers een wiskundig schema, een matrix, die alle mogelijke overgangen beschrijft. Door deze matrix door te rekenen rolt er een bandenstructuur uit: een overzicht van welke energieën elektronen in het materiaal mogen aannemen en welke niet. Die bandenstructuur bepaalt bijna alles wat je wilt weten over een materiaal, zoals of het een metaal, halfgeleider of isolator is, hoe het licht absorbeert en hoe het reageert op een magnetisch veld.
De naam verwijst naar de aanname dat elektronen strak aan hun atoom gebonden blijven en slechts af en toe springen, in tegenstelling tot het zogeheten vrije-elektronenmodel, dat ervan uitgaat dat elektronen zich bijna ongehinderd door het hele kristal bewegen. Beide modellen zijn vereenvoudigingen van de werkelijkheid; welke het beste past hangt af van het materiaal. Voor metalen met sterk verspreide elektronen werkt het vrije-elektronenmodel vaak beter; voor materialen met compactere elektronenwolken, zoals veel halfgeleiders, isolatoren en overgangsmetalen, is tight-binding vaak nauwkeuriger en rekenkundig veel goedkoper dan de zwaarste quantumchemische methodes.
Wat wil men ermee bereiken?
De drijfveer achter de tight-binding-methode is praktisch: het exact uitrekenen van het gedrag van elektronen in een stuk materiaal met de volledige quantummechanica is, zelfs met de krachtigste computers, voor grote aantallen atomen praktisch onmogelijk. Onderzoekers willen desondanks vooraf, dus voordat ze een nieuw materiaal duur en tijdrovend in het lab maken, kunnen voorspellen welke eigenschappen het zal hebben.
Tight-binding-modellen bieden een compromis: ze zijn minder nauwkeurig dan de zwaarste berekeningsmethodes, zoals dichtheidsfunctionaaltheorie (afgekort DFT, die de quantummechanica rechtstreeks aanpakt), maar duizenden tot miljoenen keren sneller. Daardoor kunnen onderzoekers systemen van miljoenen atomen simuleren, bijvoorbeeld een volledige nanodraad of een stukje computerchip, terwijl DFT al bij een paar honderd atomen vastloopt.
Een tweede, dieperliggend doel is begrip. Eenvoudige tight-binding-modellen met maar een paar parameters laten vaak helder zien welk mechanisme verantwoordelijk is voor een bepaalde eigenschap, zoals geleiding of magnetisme. Die helderheid gaat vaak verloren in zwaardere, minder doorzichtige berekeningen. Zo hielp een tight-binding-model verklaren waarom grafeen zo goed geleidt, en legde een ander tight-binding-model de basis voor het hele onderzoeksveld van topologische materialen: materialen met elektronische eigenschappen die beschermd zijn tegen kleine verstoringen, relevant voor robuustere quantumcomputerchips.
Voorbeelden uit de praktijk
Grafeen, het één atoom dikke laagje koolstof dat in 2004 door Andre Geim en Konstantin Novoselov in Manchester werd geïsoleerd, is het bekendste succesverhaal. Al in 1947 had de Canadese natuurkundige Philip Wallace met een tight-binding-model van grafiet berekend dat elektronen in zo'n koolstoflaag zich rond bepaalde punten in de bandenstructuur gedragen als deeltjes zonder massa. Na de ontdekking van grafeen bleek diezelfde, decennia oude berekening de ongewoon hoge geleidbaarheid van het materiaal nauwkeurig te verklaren.
De Amerikaanse natuurkundige Duncan Haldane publiceerde in 1988 een tight-binding-model op een honingraatrooster, hetzelfde roosterpatroon als grafeen, waarin elektronen zich konden gedragen als in het kwantum-Halleffect, maar dan zonder dat er een extern magneetveld nodig was. Dit Haldane-model bleef lang een theoretisch gedachte-experiment, maar legde mede de basis voor het onderzoeksveld topologische materialen. Haldane kreeg hiervoor in 2016, samen met David Thouless en Michael Kosterlitz, de Nobelprijs voor de Natuurkunde.
Aan de TU Delft ontwikkelden onderzoekers, onder meer Anton Akhmerov en Michael Wimmer, vanaf begin jaren 2010 de opensourcesoftware Kwant, gebaseerd op tight-binding-berekeningen. Deze wordt wereldwijd gebruikt om elektronentransport door nanostructuren te simuleren, onder andere in onderzoek naar topologische quantumbits, een van de benaderingen voor toekomstige quantumcomputers.
Software als Wannier90, gebruikt door onderzoeksgroepen wereldwijd, zet resultaten van zware DFT-berekeningen om in compacte tight-binding-achtige modellen, zodat eigenschappen als topologische invarianten, wiskundige kenmerken die bepalen of een materiaal topologisch is, sneller berekend kunnen worden.
Ook in de chemie en materiaalkunde wordt een variant, dichtheidsfunctionaal-tight-binding (DFTB), gebruikt om grote moleculen, batterijmaterialen en zelfs eiwitten te simuleren, in gevallen waarin volledige DFT-berekeningen te traag zouden zijn.
Hoe ver is de techniek?
De tight-binding-methode zelf is geen nieuwe technologie in ontwikkeling, maar een gevestigde rekenmethode uit de vaste-stofnatuurkunde, met wortels die terug te voeren zijn tot werk van Felix Bloch in de jaren 1920 en een systematische uitwerking door John Slater en George Koster in 1954. In die zin is de methode zeer volwassen: ze wordt al zeventig jaar gebruikt en onderwezen.
Wat wel in ontwikkeling is, is hoe de methode wordt toegepast en uitgebreid. Een actuele trend is het automatisch bepalen van de parameters, de site-energieën en hopping-waarden, met behulp van machine learning, getraind op resultaten van zwaardere DFT-berekeningen. Dat moet tight-binding-modellen nauwkeuriger maken zonder de rekensnelheid te verliezen, een onderzoeksrichting die nog niet is uitgekristalliseerd en waarin verschillende groepen met uiteenlopende aanpakken experimenteren.
Een blijvend obstakel is dat de kwaliteit van een tight-binding-model volledig afhangt van hoe goed de parameters voor een specifiek materiaal zijn gekozen. Voor nieuwe, nog onbekende materialen is dat geen rechttoe-rechtaan exercitie, en modellen die goed werken voor het ene materiaal gaan niet automatisch op voor het andere. Daarnaast schiet de methode tekort bij materialen waarin elektronen elkaar sterk voelen, de zogeheten sterke elektronencorrelatie, zoals bij sommige onconventionele supraleiders. Daarvoor zijn uitgebreidere modellen nodig, zoals het Hubbard-model.
Wie werken eraan?
Omdat de tight-binding-methode een basisgereedschap is in de vaste-stofnatuurkunde, wordt ze gebruikt in nagenoeg elk groot natuurkunde- en materiaalkundeonderzoeksinstituut ter wereld. In Nederland is vooral de TU Delft, met het Kavli Institute of Nanoscience en het quantumonderzoekscentrum QuTech, een drijvende kracht, met werk aan topologische materialen en aan simulatiesoftware zoals Kwant.
Internationaal spelen onder meer Princeton University, waar Duncan Haldane werkt, MIT, de University of California Berkeley en diverse Max Planck-instituten in Duitsland een rol in theoretisch onderzoek naar tight-binding-modellen voor nieuwe materialen. Nationale laboratoria zoals het Amerikaanse NIST gebruiken de methode bij het simuleren van halfgeleiderdevices.
Ook de chipindustrie heeft belang bij de methode: simulatiesoftware voor transistor- en chipontwerp, zoals gebruikt door bedrijven als Synopsys, bouwt mede op tight-binding-achtige berekeningen om te voorspellen hoe elektronen zich door steeds kleinere structuren bewegen, essentieel bij de ontwikkeling van nieuwe generaties computerchips.