Riemannzetafunctie: het raadsel achter de priemgetallen
De Riemannzetafunctie is een wiskundige formule die op het eerste gezicht weinig met technologie te maken lijkt te hebben, maar die op de achtergrond een sleutelrol speelt in hoe wetenschappers priemgetallen begrijpen — de getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf, zoals 2, 3, 5, 7, 11 en 13. Priemgetallen vormen de bouwstenen van alle gehele getallen, vergelijkbaar met hoe atomen de bouwstenen van materie zijn. Het probleem is dat niemand precies weet volgens welk patroon priemgetallen verspreid liggen over de getallenlijn: soms liggen ze dicht op elkaar, soms zijn er lange stiltes. De Duitse wiskundige Bernhard Riemann ontdekte in 1859 dat een bepaalde functie, nu naar hem vernoemd, verrassend veel onthult over die schijnbare wanorde.
Een handige vergelijking: stel je een berg regendruppels voor op een raam, ogenschijnlijk willekeurig neergevallen. De Riemannzetafunctie werkt als een soort röntgenfoto die door die druppels heen kijkt en een verborgen, bijna muzikaal ritme blootlegt. Dat ritme wordt bepaald door speciale punten, de zogeheten nulpunten van de functie. Riemann vermoedde dat al die belangrijke nulpunten keurig op één denkbeeldige lijn liggen — een vermoeden dat inmiddels bekendstaat als de Riemannhypothese en dat na meer dan 165 jaar nog altijd niet bewezen is. Het is een van de beroemdste open vragen in de wiskunde, met gevolgen die reiken tot in de informatica en de natuurkunde.
Wat is het precies?
De zetafunctie zelf is in de kern een optelsom. Voor een getal s groter dan 1 geldt: ζ(s) = 1 + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s + ... — je telt dus de omgekeerde machten van alle gehele getallen bij elkaar op. Leonhard Euler ontdekte al in de achttiende eeuw dat deze som exact hetzelfde resultaat geeft als een product waarin alleen priemgetallen voorkomen. Die zogeheten Euler-productformule is de eerste aanwijzing dat de zetafunctie en de priemgetallen onlosmakelijk met elkaar verbonden zijn.
Riemanns grote sprong was dat hij de functie niet beperkte tot getallen groter dan 1, maar haar via een wiskundige truc genaamd analytische voortzetting uitbreidde naar bijna alle complexe getallen (getallen die bestaan uit een 'gewoon' deel en een 'imaginair' deel, geschreven als a + bi). Daardoor kreeg de functie overal een waarde, behalve in het punt s = 1. In dat uitgebreide landschap duiken plekken op waar de functie precies nul wordt: de nulpunten. Sommige daarvan, de zogeheten triviale nulpunten, liggen op voorspelbare plekken (bij de negatieve even getallen) en zijn wiskundig weinig interessant.
De interessante nulpunten, de niet-triviale nulpunten, liggen allemaal in een smalle strook van het complexe vlak, de kritieke strook genoemd. Riemann vermoedde dat ze niet zomaar ergens in die strook liggen, maar stuk voor stuk precies op de middellijn ervan, de kritieke lijn. Dat is de Riemannhypothese: alle niet-triviale nulpunten hebben reëel deel gelijk aan 1/2. Via een zogenoemde 'expliciete formule' hangt de exacte ligging van deze nulpunten samen met hoe nauwkeurig je kunt voorspellen hoeveel priemgetallen er onder een bepaalde grens liggen. Hoe dichter de nulpunten bij de kritieke lijn liggen, hoe regelmatiger priemgetallen zich in werkelijkheid gedragen.
Wat wil men ermee bereiken?
Het uiteindelijke doel is een zo nauwkeurig mogelijk begrip van de verdeling van priemgetallen. Er bestaat al sinds 1896 een bewezen stelling, de priemgetalstelling, die een goede schatting geeft van hoeveel priemgetallen er onder een bepaald getal liggen. Maar die schatting bevat een foutmarge, en het is precies de Riemannhypothese die zou garanderen dat die foutmarge zo klein mogelijk is. Een bewijs van de hypothese zou dus niet zozeer iets nieuws onthullen, maar wel de best mogelijke nauwkeurigheid wiskundig vastleggen.
Daarnaast is de Riemannhypothese als een soort fundament onder honderden andere wiskundige stellingen geschoven: wiskundigen hebben al meer dan duizend resultaten gepubliceerd die beginnen met 'als de Riemannhypothese waar is, dan...'. Een bewijs zou al die voorwaardelijke resultaten in één klap definitief maken. Andersom zou een tegenvoorbeeld — een nulpunt buiten de kritieke lijn — een aardverschuiving in de getaltheorie betekenen.
Er is ook een praktische, zij het indirecte, relevantie. Priemgetallen vormen de basis van veel gangbare cryptografie, waaronder RSA-versleuteling die onder meer bij beveiligde websites wordt gebruikt. De Riemannhypothese verandert niets aan de veiligheid van bestaande sleutels, maar een dieper begrip van priemgetalverdeling helpt bij het ontwerpen en testen van efficiënte algoritmes om grote priemgetallen te vinden en te controleren. Ten slotte trekt het onderwerp ook natuurkundigen aan: de spreiding van de nulpunten vertoont statistische overeenkomsten met de energieniveaus van zware atoomkernen, wat wijst op een mogelijk diepere, nog onbegrepen samenhang tussen wiskunde en kwantumfysica.
Voorbeelden uit de praktijk
Riemanns oorspronkelijke publicatie uit 1859, getiteld Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, was zijn enige artikel over getaltheorie ooit, en toch legde het de basis voor meer dan anderhalve eeuw onderzoek.
In 1953 gebruikte de Britse wiskundige en informaticapionier Alan Turing een vroege computer om nulpunten van de zetafunctie te berekenen en te controleren of ze op de kritieke lijn lagen. Het was een van de eerste keren dat een computer werd ingezet voor een zuiver wiskundig vraagstuk van deze aard.
Vanaf de jaren tachtig verbeterde de Amerikaanse wiskundige Andrew Odlyzko de rekenmethoden aanzienlijk en berekende hij miljoenen nulpunten met hoge precisie. In 1987 leidde een gesprek tussen Odlyzko en de natuurkundige Freeman Dyson tot de ontdekking dat de onderlinge afstanden tussen nulpunten statistisch sterk lijken op de afstanden tussen eigenwaarden van willekeurige matrices uit de kwantumfysica, een verband dat nu bekendstaat als de Montgomery-Odlyzko-wet.
In 2004 rekenden de Franse wiskundige Xavier Gourdon en medewerkers de eerste tien biljoen (10^13) nulpunten door en vonden geen enkele uitzondering op de hypothese.
Meer recent publiceerden David Platt en Timothy Trudgian in 2020 een rigoureuze, sluitend geverifieerde controle van de eerste ruim drie biljoen nulpunten, gepubliceerd in het Bulletin of the London Mathematical Society. Al deze projecten bevestigen de hypothese voor enorme aantallen nulpunten, maar een computercontrole van eindig veel gevallen is geen wiskundig bewijs voor alle oneindig veel nulpunten.
Hoe ver is de techniek?
De Riemannhypothese is nog altijd onbewezen en geldt als een van de zeven Millennium-problemen die het Clay Mathematics Institute in 2000 aanwees, elk met een prijs van een miljoen dollar voor een geldig bewijs. Van die zeven is alleen het Poincaré-vermoeden opgelost, door de Russische wiskundige Grigori Perelman in 2002-2003. De overige zes, waaronder de Riemannhypothese, staan nog open.
De vooruitgang komt in twee vormen. Ten eerste zijn er computerverificaties zoals hierboven beschreven, die steeds meer nulpunten controleren zonder ooit alle nulpunten te kunnen behandelen. Ten tweede is er theoretische vooruitgang die een gedeeltelijk resultaat oplevert: in 1974 bewees Norman Levinson dat minstens een derde van alle niet-triviale nulpunten op de kritieke lijn ligt, een percentage dat latere wiskundigen, onder wie Brian Conrey in 1989, hebben opgekrikt tot boven de veertig procent. Volledige zekerheid is dat echter niet.
Een terugkerend obstakel is dat er geen algemeen aanvaarde strategie bestaat die naar een compleet bewijs lijkt te leiden. Verschillende gerenommeerde wiskundigen hebben in de loop der decennia bewijzen gepubliceerd of aangekondigd, waaronder de Franse wiskundige Louis de Branges, maar geen van die pogingen heeft de toets van collegiale beoordeling doorstaan. Het onderwerp trekt daardoor ook geregeld amateur-inzendingen aan die door vakwiskundigen snel worden weerlegd.
Wie werken eraan?
Omdat het om zuivere wiskunde gaat, zijn het vooral universiteiten en onderzoeksinstituten die zich ermee bezighouden, niet commerciële bedrijven. Het Clay Mathematics Institute in de Verenigde Staten coördineert en financiert de prijs en organiseert bijeenkomsten over het onderwerp. Het American Institute of Mathematics (AIM) heeft meerdere workshops specifiek aan de Riemannhypothese gewijd, waarbij internationale onderzoeksgroepen samenkomen.
Op het gebied van grootschalige computerverificatie is de Universiteit van Bristol in het Verenigd Koninkrijk, met onderzoekers als Timothy Trudgian en David Platt, momenteel toonaangevend. In Frankrijk werkt de wiskundige Alain Connes, verbonden aan het Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES), aan een aanpak vanuit de niet-commutatieve meetkunde die zoekt naar een dieperliggende structuur achter de nulpunten. Daarnaast dragen wiskundigen bij universiteiten over de hele wereld, van Princeton tot het Indian Institute of Science, bij aan gedeeltelijke resultaten en aanverwante vermoedens zoals de Gegeneraliseerde Riemannhypothese, die de logica van Riemanns vermoeden uitbreidt naar verwante functies (L-functies).