De modulariteitsstelling: hoe twee vreemde talen in de wiskunde bleken samen te vallen
Stel je twee volledig gescheiden werelden voor: aan de ene kant kaarten met kronkelende kustlijnen, aan de andere kant bladmuziek vol herhalende patronen. Niemand zou verwachten dat beide hetzelfde landschap beschrijven. Toch is dat precies wat wiskundigen ontdekten met de modulariteitsstelling: twee totaal verschillende soorten wiskundige objecten, elliptische krommen en modulaire vormen, blijken via een vaste vertaalsleutel altijd bij elkaar te horen. Wat in de ene taal een kromme lijn is, is in de andere taal een muziekstuk vol symmetrie — en ze beschrijven exact hetzelfde wiskundige "ding".
Deze stelling klinkt abstract, en dat is ze ook: het is zuivere getaltheorie, het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de eigenschappen van gehele getallen. Toch is de modulariteitsstelling een van de beroemdste resultaten uit de moderne wiskunde, omdat ze de sleutel bleek tot het oplossen van een 350 jaar oud raadsel: de Laatste Stelling van Fermat. Het verhaal erachter combineert decennia van geduldig theoretisch werk met een dramatisch moment waarop een bewijs bijna instortte voordat het alsnog standhield.
Wat is het precies?
Om de stelling te begrijpen, moet je eerst weten wat een elliptische kromme is. Dat is geen ellips, ondanks de naam, maar de verzameling punten die voldoet aan een vergelijking van de vorm y² = x³ + ax + b. Teken je dat, dan krijg je een gladde, golvende lijn. Wiskundigen zijn al eeuwen geïnteresseerd in welke punten met gehele of rationale coördinaten (breuken) op zo'n kromme liggen.
Een modulaire vorm is iets heel anders: een wiskundige functie met een extreem hoge mate van symmetrie, gedefinieerd op een abstract wiskundig vlak (het "complexe bovenhalfvlak"). Je kunt het vergelijken met een oneindig herhalend behangpatroon, maar dan in de wiskunde van complexe getallen. Modulaire vormen komen oorspronkelijk uit een heel ander hoekje van de wiskunde dan elliptische krommen.
De modulariteitsstelling zegt dat bij elke elliptische kromme over de rationale getallen (breuken) altijd een specifieke modulaire vorm hoort, zodanig dat belangrijke getallen die de kromme beschrijft (hoeveel punten ze modulo een priemgetal heeft) precies terug te vinden zijn in de modulaire vorm. Twee compleet verschillende wiskundige werelden blijken dus stelselmatig op elkaar aan te sluiten.
Het idee werd voor het eerst geopperd door de Japanse wiskundigen Yutaka Taniyama en Goro Shimura, eind jaren vijftig en in de jaren zestig, en later verder aangescherpt door de Franse wiskundige André Weil. Lange tijd bleef het een vermoeden — een onbewezen maar plausibele bewering. De doorbraak kwam toen de wiskundige Gerhard Frey in de jaren tachtig een merkwaardige elliptische kromme constateerde die zou ontstaan als de Laatste Stelling van Fermat (dat er geen gehele oplossingen zijn voor xⁿ + yⁿ = zⁿ met n groter dan 2) fout zou zijn. Kenneth Ribet bewees vervolgens dat zo'n kromme, als hij zou bestaan, nooit modulair kon zijn — in strijd met het vermoeden van Taniyama-Shimura. Wie het vermoeden kon bewijzen, bewees daarmee automatisch ook Fermats stelling.
Dat is precies wat de Britse wiskundige Andrew Wiles deed. Na zeven jaar in relatieve afzondering werken, kondigde hij in 1993 in Cambridge een bewijs aan. Er bleek echter een gat in de redenering te zitten. Samen met zijn voormalige student Richard Taylor herstelde Wiles het bewijs in 1994, gepubliceerd in 1995 — voor het specifieke geval ("semistabiele" krommen) dat nodig was voor Fermat. Pas in 2001 bewezen Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond en Richard Taylor de volledige, algemene modulariteitsstelling voor alle elliptische krommen over de rationale getallen.
Wat wil men ermee bereiken?
De directe drijfveer achter dit onderzoek is zelden een praktische toepassing; het gaat wiskundigen primair om het begrijpen van de diepere structuur van getallen zelf. De modulariteitsstelling is een klein maar cruciaal onderdeel van een veel groter web van vermoedens dat het Langlands-programma heet, genoemd naar de Canadese wiskundige Robert Langlands. Dit programma probeert uiteenlopende takken van de wiskunde — getaltheorie, meetkunde, en representatietheorie (de studie van symmetrieën) — met elkaar te verbinden via een netwerk van vertaalsleutels, vergelijkbaar met die tussen elliptische krommen en modulaire vormen. Sommige wiskundigen noemen het Langlands-programma weleens de "grand unified theory" van de wiskunde, al is die vergelijking met de natuurkunde niet helemaal precies.
Er is ook een indirecte relatie met de praktijk, die vaak wordt overdreven en daarom precisie verdient. Elliptische krommen worden inderdaad gebruikt in de cryptografie die het internet beveiligt: elliptische-kromme-cryptografie (ECC) zit in TLS/HTTPS-verbindingen, in de Signal-app en in cryptovaluta zoals Bitcoin (via de zogeheten secp256k1-kromme). Maar de veiligheid van die cryptografie berust op een ander wiskundig probleem — het zogeheten discrete-logaritmeprobleem op elliptische krommen, dat heel moeilijk om te draaien is — en niet rechtstreeks op de modulariteitsstelling zelf. Beide onderzoeksgebieden gebruiken wel dezelfde objecten en dezelfde wiskundige gereedschapskist, waardoor voortgang in het ene veld soms nieuwe inzichten oplevert voor het andere. De modulariteitsstelling "drijft" de cryptografie dus niet aan, maar behoort tot dezelfde intellectuele familie.
Voorbeelden uit de praktijk
Hoewel dit vooral zuiver theoretisch werk is, zijn er wel degelijk concrete mijlpalen en toepassingsgebieden te noemen.
- 1993, Cambridge: Andrew Wiles kondigt tijdens een reeks lezingen zijn bewijs van de Laatste Stelling van Fermat aan, gebaseerd op een gedeeltelijk bewijs van de modulariteitsstelling. Kort daarna blijkt er een fout in te zitten.
- 1994-1995: Wiles herstelt, samen met Richard Taylor, het bewijs voor semistabiele elliptische krommen. Dit is voldoende om de Laatste Stelling van Fermat definitief te bewijzen, gepubliceerd in de Annals of Mathematics.
- 2001: Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond en Richard Taylor breiden het bewijs uit tot alle elliptische krommen over de rationale getallen. De modulariteitsstelling is vanaf dat moment een volledig bewezen stelling, geen vermoeden meer.
- Doorlopend, cryptografie: dezelfde elliptische krommen die in de getaltheorie worden bestudeerd, vormen de wiskundige basis van ECC-cryptografie in bijvoorbeeld HTTPS-verbindingen in webbrowsers en in de Bitcoin-blockchain — een voorbeeld van hoe fundamentele wiskundige objecten decennia later praktisch nut krijgen, zij het via een ander wiskundig probleem dan de modulariteitsstelling zelf.
- Vanaf circa 2019, uitbreidingsonderzoek: wiskundigen als George Boxer, Frank Calegari, Toby Gee en Vincent Pilloni werken aan het uitbreiden van modulariteitsresultaten naar bredere klassen van getallenlichamen, zoals reële kwadratische lichamen (een uitbreiding van de rationale getallen). Dit onderzoek boekt gestage voortgang op deelgebieden, maar een volledige veralgemenisering zoals die er voor de rationale getallen ligt, is er nog niet.
Hoe ver is de techniek?
Voor elliptische krommen over de rationale getallen is de zaak sinds 2001 wiskundig gezien afgerond: de modulariteitsstelling is bewezen, punt uit. Er valt in die specifieke vorm dus niets meer te "ontwikkelen".
De actieve onderzoeksvraag zit in de uitbreiding naar bredere klassen van getallen. Sinds enkele jaren proberen onderzoeksgroepen vergelijkbare modulariteitsresultaten te bewijzen voor elliptische krommen over andere getallenlichamen dan de rationale getallen, zoals reële kwadratische lichamen. Dat is technisch aanzienlijk lastiger en de voortgang verloopt geleidelijk, met resultaten die vaak gelden onder aanvullende voorwaarden of voor specifieke deelgevallen, in plaats van in volle algemeenheid. Het is eerlijk om te zeggen dat de status van dit deelgebied voortdurend verschuift naarmate nieuwe papers verschijnen, en dat definitieve, volledig algemene uitspraken op dit moment nog niet gedaan kunnen worden.
Het bredere Langlands-programma, waar de modulariteitsstelling een instantie van is, blijft voor het overgrote deel open. Veel wiskundigen beschouwen het als werk van generaties, niet van jaren. Er is geen concrete "routekaart" naar toepassingen op korte termijn; dit is en blijft in de eerste plaats fundamenteel onderzoek, gedreven door nieuwsgierigheid naar de structuur van getallen zelf.
Wie werken eraan?
Andrew Wiles, tegenwoordig verbonden aan de Universiteit van Oxford, geldt als de centrale figuur achter het oorspronkelijke bewijs. Richard Taylor, die meewerkte aan zowel het herstel van het bewijs in 1994-1995 als de volledige veralgemenisering in 2001, is verbonden geweest aan Harvard, het Institute for Advanced Study in Princeton en tegenwoordig Stanford University. Christophe Breuil (verbonden aan het Franse onderzoeksinstituut CNRS), Brian Conrad (Stanford University) en Fred Diamond (King's College London) completeerden met Taylor het bewijs voor alle rationale elliptische krommen.
Het bredere onderzoek naar uitbreidingen van de modulariteitsstelling en het Langlands-programma wordt gedragen door een internationaal netwerk van getaltheoretici, onder wie Frank Calegari (University of Chicago), Toby Gee (Imperial College London), George Boxer en Vincent Pilloni (verbonden aan Franse CNRS-onderzoeksgroepen). Belangrijke instituten voor dit soort fundamenteel wiskundig onderzoek zijn het Institute for Advanced Study in Princeton, het Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) in Frankrijk, en wiskundeafdelingen van universiteiten als Chicago, Stanford en Imperial College London. Financiering komt doorgaans van nationale wetenschapsfondsen en universiteiten zelf, niet van commerciële partijen — dit is grotendeels academisch, publiek gefinancierd onderzoek zonder directe commerciële toepassing.