Het millenniumprijsprobleem: zeven wiskundige raadsels van een miljoen dollar
Stel je voor dat er een prijsvraag bestaat waarbij je een miljoen dollar wint als je een wiskundig raadsel oplost dat al tientallen of zelfs honderden jaren onopgelost is. Dat klinkt als fictie, maar het bestaat echt. In het jaar 2000 riep een particuliere stichting in Amerika, het Clay Mathematics Institute, zeven van zulke raadsels uit tot "millenniumproblemen". Op elk ervan staat een beloning van een miljoen dollar voor wie een sluitend bewijs levert.
Het gaat niet om puzzels die je met een rekenmachine oplost, maar om diepe vragen over de aard van getallen, vormen, vloeistoffen en berekeningen. Vergelijk het met het zoeken naar de laatste ontbrekende stukjes van een enorme legpuzzel: de rest van de wiskunde is al gelegd en werkt goed, maar een paar cruciale hoekstukken ontbreken nog. Zolang die ontbreken, blijft er onzekerheid of het hele plaatje wel klopt zoals wiskundigen denken.
Wat is het precies?
De zeven millenniumproblemen zijn open vragen uit verschillende hoeken van de wiskunde. Ze zijn zorgvuldig gekozen door een groep vooraanstaande wiskundigen, onder wie de Britse Fields-medaillewinnaar Michael Atiyah, omdat ze al lang bekend stonden als bijzonder lastig én bijzonder belangrijk.
De zeven problemen zijn: het P versus NP-probleem (kun je elk probleem waarvan je een oplossing snel kunt controleren, ook snel oplossen?), het vermoeden van Hodge (over de vorm van bepaalde meetkundige objecten), het vermoeden van Poincaré (over welke vormen in drie dimensies zich laten "gladstrijken" tot een bol), de Riemann-hypothese (over de verdeling van priemgetallen, de bouwstenen van alle gehele getallen), de existentie en massakloof van Yang-Mills-theorie (uit de kwantumfysica), het bestaan en de gladheid van oplossingen van de Navier-Stokes-vergelijkingen (die stromende vloeistoffen zoals water en lucht beschrijven), en het vermoeden van Birch en Swinnerton-Dyer (over oplossingen van bepaalde wiskundige vergelijkingen, zogeheten elliptische krommen).
Een "bewijs" leveren betekent hier niet dat je met voorbeelden aantoont dat iets waarschijnlijk klopt. Het betekent een sluitende, logische redenering die voor alle gevallen tegelijk geldt, gecontroleerd en geaccepteerd door de wiskundige gemeenschap. Dat proces kan jaren duren: een bewijs wordt eerst gepubliceerd, dan door andere experts nagerekend, en pas na brede acceptatie kan het Clay Mathematics Institute de prijs uitkeren.
Wat wil men ermee bereiken?
Het instituut wilde met deze actie iets doen wat honderd jaar eerder de Duitse wiskundige David Hilbert ook deed: een lijst van de belangrijkste openstaande vragen opstellen om onderzoekers wereldwijd te inspireren en te richten. Hilbert presenteerde in 1900 drieëntwintig problemen; het Clay-instituut deed in 2000 hetzelfde, maar dan met geld als extra prikkel en gericht op wat rond de eeuwwisseling als de meest fundamentele hobbels gold.
Het doel is niet in de eerste plaats het prijzengeld. De meeste wiskundigen die aan deze problemen werken, doen dat uit intellectuele nieuwsgierigheid en omdat een oplossing enorme gevolgen kan hebben voor andere delen van wiskunde en wetenschap. Zo zou een oplossing van P versus NP grote gevolgen hebben voor de informatica en voor cryptografie, de techniek waarmee bijvoorbeeld internetbankieren wordt beveiligd. De Riemann-hypothese raakt eveneens aan cryptografie en aan ons begrip van priemgetallen, die de basis vormen van veel beveiligingssystemen. Het probleem rond Navier-Stokes raakt aan hoe goed we weer, klimaat en luchtstromingen rond vliegtuigen kunnen voorspellen.
Voorbeelden uit de praktijk
Het bekendste succesverhaal is het vermoeden van Poincaré. De Russische wiskundige Grigori Perelman publiceerde tussen 2002 en 2003 een reeks papers op het online archief arXiv waarin hij, voortbouwend op eerder werk van de Amerikaan Richard Hamilton, een bewijs leverde. Na jaren van controle door internationale experts werd het bewijs in 2006 als correct erkend.
In 2010 kende het Clay Mathematics Institute Perelman de prijs van een miljoen dollar toe, als eerste en tot nu toe enige uitkering ooit. Perelman weigerde het geld, net zoals hij eerder in 2006 de Fieldsmedaille weigerde, de hoogste onderscheiding in de wiskunde. Hij trok zich terug uit het openbare wiskundige leven, wat het verhaal ook buiten vakkringen bekend maakte.
Rond de Riemann-hypothese zijn er sinds 2000 talloze deelresultaten geboekt. Onderzoekers als Kannan Soundararajan en Maksym Radziwiłł publiceerden in de jaren 2010 belangrijke tussenstappen die de hypothese in specifieke gevallen ondersteunen, zonder haar volledig te bewijzen.
Bij P versus NP claimden diverse onderzoekers door de jaren heen bewijzen, onder wie een informaticus in 2010 wiens werk veel media-aandacht kreeg, maar bij nadere controle bleken deze pogingen steeds fouten te bevatten. Geen enkele poging heeft de vakgemeenschap tot nu toe overtuigd.
Voor de Birch en Swinnerton-Dyer-vermoeden leverden Britse wiskundigen als John Coates en Manjul Bhargava (werkzaam aan Princeton) in de jaren 2010 belangrijke gedeeltelijke resultaten, onder meer over hoe vaak het vermoeden waar is voor bepaalde families van vergelijkingen.
Hoe ver is de techniek?
Van de zeven problemen is er dus precies één daadwerkelijk opgelost: het vermoeden van Poincaré. De overige zes staan nog open, ruim vijfentwintig jaar na de aankondiging.
Dat betekent niet dat er geen vooruitgang is. Wiskundig onderzoek werkt vaak via kleine stapjes: een probleem wordt bewezen voor een beperkt geval, waarna dat geval steeds verder wordt uitgebreid. Bij de Riemann-hypothese is inmiddels met computers gecontroleerd dat de eerste vele miljarden zogeheten "nulpunten" van de bijbehorende functie precies op de plek liggen die de hypothese voorspelt. Dat is een sterke aanwijzing, maar geen bewijs: de hypothese moet voor oneindig veel gevallen tegelijk kloppen, en computercontrole kan nooit oneindig ver gaan.
Bij Navier-Stokes ontdekten wiskundigen, onder wie de Française Isabelle Gallagher, en de Amerikaan Terence Tao juist ook resultaten die aantonen hoe lastig het probleem is: Tao liet in 2016 zien dat een iets aangepaste versie van de vergelijkingen wél tot instabiel, chaotisch gedrag kan leiden, wat suggereert dat het oorspronkelijke probleem buitengewoon subtiel is.
Een terugkerend obstakel is dat deze problemen niet zomaar met meer rekenkracht of nieuwe computers op te lossen zijn. Het zijn vragen over principiële grenzen en universele patronen, waarvoor echt nieuwe wiskundige inzichten nodig zijn. Kunstmatige intelligentie en geautomatiseerde bewijssystemen worden inmiddels wel ingezet om deelstappen te controleren of te versnellen, maar niemand verwacht op korte termijn dat een computer zelfstandig een volledig nieuw bewijs voor een van deze problemen levert.
Wie werken eraan?
Het Clay Mathematics Institute, opgericht door de Amerikaanse zakenman en filantroop Landon Clay, beheert de problemen en de prijzen vanuit de Verenigde Staten. Het instituut werkt nauw samen met universiteiten als Oxford en met wiskundige tijdschriften die nieuwe bewijzen beoordelen.
Onderzoek naar de individuele problemen vindt verspreid over de hele wereld plaats. Grigori Perelman werkte aan het Steklov-instituut voor Wiskunde in Sint-Petersburg, Rusland. Amerikaanse instituten als Princeton University, het Institute for Advanced Study in Princeton en de University of California, Los Angeles (waar Terence Tao werkzaam is) spelen een grote rol, evenals Franse instellingen zoals het Institut des Hautes Études Scientifiques (IHES) bij Parijs.
Ook in Nederland wordt aan aanpalende vraagstukken gewerkt, bijvoorbeeld aan de Universiteit Utrecht en de Universiteit Leiden, waar onderzoeksgroepen zich bezighouden met getaltheorie en meetkunde, de vakgebieden waarbinnen onder meer de Riemann-hypothese en het Birch en Swinnerton-Dyer-vermoeden vallen. Internationale samenwerking en publicatie via platforms als arXiv, waar wiskundigen voorpublicaties delen voordat ze in vaktijdschriften verschijnen, zijn inmiddels de norm geworden in dit onderzoeksveld.