Irrationaliteitsexponent: hoe goed kun je een getal benaderen met breuken?
Stel dat je pi (Ï€, de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel) wilt benaderen met een eenvoudige breuk. Al in de oudheid ontdekte men dat 22/7 behoorlijk goed werkt. Nog verrassender is 355/113: met een relatief kleine noemer (113) krijg je een benadering die pas na zes decimalen misgaat, veel beter dan je bij een willekeurig getal zou verwachten. De irrationaliteitsexponent (ook wel irrationaliteitsmaat genoemd) is het wiskundige gereedschap waarmee getaltheoretici precies vastleggen hoe goed, of juist hoe slecht, een getal zich op deze manier met breuken laat benaderen.
Om dit te begrijpen moet je eerst weten wat een irrationaal getal is: een getal dat niet exact als breuk van twee gehele getallen te schrijven is, zoals π of √2. De decimalen gaan onbeperkt door zonder zich te herhalen. Sommige irrationale getallen laten zich, zoals π, verrassend goed benaderen door breuken met een relatief kleine noemer. Andere irrationale getallen zijn juist 'koppig': elke breuk die in de buurt komt, heeft een onevenredig grote noemer nodig. De irrationaliteitsexponent is het getal dat deze eigenschap in een enkele waarde samenvat. Het is geen technologie en geen apparaat, maar een puur wiskundig begrip uit de getaltheorie, het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met de eigenschappen van getallen.
Wat is het precies?
Neem een reëel getal x en een breuk p/q (met p en q gehele getallen). Je kunt altijd vragen: hoe klein is het verschil |x − p/q|? Voor steeds grotere noemers q kun je in principe steeds dichter bij x komen, dat is niet verrassend. Interessant wordt het pas als je vraagt: hoe snel wordt die benadering beter naarmate q groeit? De irrationaliteitsexponent μ(x) van een getal x is, kort gezegd, de grootste macht μ waarvoor er nog oneindig veel breuken p/q bestaan die dichter bij x liggen dan 1 gedeeld door q tot de macht μ. Hoe groter μ, hoe 'buitengewoon goed' x benaderbaar is met breuken, veel beter dan je van een willekeurig getal zou verwachten.
Er is een ondergrens die voor ieder irrationaal getal geldt: de stelling van Dirichlet (uit de negentiende eeuw) bewijst dat er voor elk irrationaal getal altijd oneindig veel breuken bestaan die dichter bij liggen dan 1/q². Daarom is μ(x) minstens 2 voor elk irrationaal getal; dat is de basislijn. Voor rationale getallen zelf (gewone breuken) is μ gelijk aan 1, de laagst mogelijke waarde, omdat een breuk zichzelf exact gelijk is en er geen 'extra' goede benaderingen door andere breuken ontstaan.
In 1955 bewees de Britse wiskundige Klaus Roth iets fundamenteels: voor algebraïsche irrationale getallen (getallen die een oplossing zijn van een vergelijking met gehele of rationale coëfficiënten, zoals √2 of de gulden snede) is μ exact gelijk aan 2, niet hoger. Dat betekent dat deze getallen zich niet beter laten benaderen dan de wet van Dirichlet toestaat. Roth kreeg hiervoor in 1958 de Fields-medaille, de belangrijkste onderscheiding in de wiskunde.
Aan het andere uiterste staan de Liouville-getallen, in 1844 door de Fransman Joseph Liouville speciaal geconstrueerd om extreem goed benaderbaar te zijn. Zo'n getal heeft μ = ∞: voor elke macht, hoe hoog ook, zijn er nog oneindig veel breuken die beter benaderen dan die macht voorschrijft. Liouville bouwde deze getallen bewust zo, met als doel te bewijzen dat ze niet algebraïsch konden zijn, en daarmee leverde hij de eerste expliciet aangewezen transcendente getallen in de wiskiundegeschiedenis.
Wat wil men ermee bereiken?
Er schuilt geen technologische toepassing achter dit begrip; het is in de eerste plaats een instrument om getallen te classificeren en beter te begrijpen. Wiskundigen willen weten: hoe 'typisch' is een bepaald getal binnen de verzameling van alle reële getallen? Is het net zo moeilijk te benaderen als een algebraïsch getal, of wijkt het af?
Een belangrijke, meer praktische drijfveer binnen de wiskunde zelf is het bewijzen van transcendentie: het aantonen dat een getal niet de oplossing kan zijn van enige polynoomvergelijking met rationale coëfficiënten. Een hoge irrationaliteitsexponent (hoger dan wat algebraïsche getallen volgens Roth's stelling kunnen hebben) is namelijk voldoende bewijs dat een getal transcendent moet zijn. Op die manier hangt de irrationaliteitsexponent nauw samen met enkele van de beroemdste bewijzen in de getaltheorie, zoals de transcendentie van e en π.
Daarnaast is er gewoon intellectuele nieuwsgierigheid: Diophantische approximatie (de tak van de getaltheorie die bestudeert hoe goed getallen door breuken benaderbaar zijn, genoemd naar de Griekse wiskundige Diophantus) is al eeuwenlang een kernonderdeel van de zuivere wiskunde, met verbindingen naar kettingbreuken, dynamische systemen en zelfs de meetkunde van getallenroosters.
Voorbeelden uit de praktijk
Hoewel 'praktijk' hier geen technologische toepassing betekent, zijn er wel degelijk concrete, goed gedocumenteerde resultaten:
Roth's stelling (1955): bewees dat elk algebraïsch irrationaal getal een irrationaliteitsexponent van precies 2 heeft. Dit bracht orde in een vraagstuk waarmee wiskundigen sinds Liouville worstelden.
Liouville-getallen (1844): de door Liouville geconstrueerde getallen, zoals de som van 10 tot de macht min n-faculteit voor alle n, hadden een irrationaliteitsexponent van ∞ en vormden daarmee het eerste expliciete bewijs dat transcendente getallen bestaan, decennia voordat Charles Hermite in 1873 bewees dat e transcendent is en Ferdinand von Lindemann in 1882 hetzelfde deed voor π.
Het getal e: voor het grondtal van de natuurlijke logaritme is exact bekend dat μ(e) = 2. Dit volgt uit de kettingbreukontwikkeling van e (een manier om een getal te schrijven als een opeenvolging van breuken binnen breuken), die een regelmatig, langzaam groeiend patroon vertoont waaruit deze waarde direct kan worden afgeleid.
Het getal π: hier ligt het ingewikkelder. μ(π) is niet exact bekend, alleen een bovengrens. Kurt Mahler bewees in 1953 de eerste eindige bovengrens. Daarna volgden decennia van verbeteringen: Masayoshi Hata kwam in 1993 tot een bovengrens van ongeveer 8,02, Victor Salikhov verbeterde dit in 2008 tot ongeveer 7,61, en de huidige beste bovengrens, van Doron Zeilberger en Wadim Zudilin uit 2019-2020, ligt rond de 7,10. De ondergrens blijft triviaal 2 (via Dirichlet); de werkelijke waarde van μ(π) zou dus overal tussen 2 en ongeveer 7,10 kunnen liggen, en niemand weet het precies.
Apéry's constante ζ(3): in 1978 verraste de Franse wiskundige Roger Apéry de wiskundige wereld door te bewijzen dat deze constante (de uitkomst van de zogeheten Riemann zeta-functie bij 3) irrationaal is, een probleem dat daarvoor lang onopgelost was. Latere wiskundigen, onder wie Georges Rhin en Carlo Viola rond 2001, verbeterden de bekende bovengrens van de irrationaliteitsexponent van ζ(3) tot ongeveer 5,5.
Hoe ver is de techniek?
Dit onderzoeksveld kent geen 'lanceerdata' of productversies; vooruitgang gebeurt in kleine, zeldzame stapjes die soms decennia op zich laten wachten. Voor sommige getallen is de irrationaliteitsexponent volledig en exact bekend: voor alle rationale getallen (μ = 1), voor alle algebraïsche irrationale getallen dankzij Roth (μ = 2), en voor e (μ = 2). Voor andere, met name π en ζ(3), kennen we alleen een bovengrens, bewezen via geavanceerde technieken als Padé-approximaties (een manier om functies te benaderen met breuken van veeltermen), hypergeometrische functies en de zogeheten 'creative telescoping'- of WZ-methode, ontwikkeld door Doron Zeilberger. De werkelijke waarde blijft onbekend, en elke verbetering van de bovengrens, vaak slechts in de laatste decimalen, wordt gezien als een substantieel resultaat.
Nog fundamenteler open is de situatie bij hogere zeta-waarden. Het is nog altijd niet bewezen of ζ(5) zelf wel irrationaal is. Wadim Zudilin slaagde er in 2001 wel in om te bewijzen dat minstens één van de vier getallen ζ(5), ζ(7), ζ(9) en ζ(11) irrationaal moet zijn, zonder te kunnen zeggen welke. Dit soort resultaten illustreert goed hoe traag en voorzichtig de vooruitgang in dit vakgebied verloopt: men bewijst eerst zwakkere, collectieve uitspraken voordat (als dat ooit lukt) een individueel getal aan de beurt is.
Wie werken eraan?
Dit is een onderdeel van de getaltheorie, specifiek het deelgebied Diophantische approximatie, en wordt beoefend door zuiver wiskundigen verspreid over de wereld, niet door bedrijven. Historische sleutelfiguren zijn Joseph Liouville (Frankrijk, negentiende eeuw), Klaus Roth (werkzaam aan Imperial College London), Kurt Mahler en Roger Apéry (Universiteit van Caen, Frankrijk). Onder de wiskundigen die in de afgelopen decennia records verbeterden, vinden we Masayoshi Hata (Kyoto University, Japan), Victor Salikhov (Rusland), Georges Rhin (Universiteit van Lotharingen, Metz) en Carlo Viola (Universiteit van Pisa, Italië). Twee namen die in recent onderzoek steeds terugkeren zijn Doron Zeilberger (Rutgers University, Verenigde Staten) en Wadim Zudilin, werkzaam aan de Radboud Universiteit in Nijmegen. Resultaten in dit vakgebied worden doorgaans gepubliceerd in gespecialiseerde wiskundige tijdschriften zoals Acta Arithmetica, Mathematische Annalen en Izvestiya Mathematics.