Chaostheorie: waarom kleine oorzaken enorme gevolgen kunnen hebben
Stel je voor: een weerkundige laat begin jaren zestig een computersimulatie van het weer twee keer draaien. De tweede keer voert hij, om tijd te besparen, een tussentijdse waarde iets afgerond opnieuw in: in plaats van 0,506127 typt hij 0,506. Een verschil zo klein dat je zou verwachten dat de uitkomst nagenoeg hetzelfde blijft. Maar na een paar gesimuleerde weken lopen de twee weerpatronen volledig uiteen, alsof het twee compleet verschillende werelden zijn. Deze ontdekking, gedaan door de Amerikaanse meteoroloog Edward Lorenz, staat aan de basis van wat we tegenwoordig chaostheorie noemen.
Chaostheorie is het wiskundige onderzoek naar systemen die zich volgens vaste, voorspelbare regels gedragen, maar waarvan de uitkomst toch nauwelijks te voorspellen is omdat een minieme verandering in de startsituatie na verloop van tijd tot een totaal andere uitkomst leidt. Het bekendste beeld hierbij is het "vlindereffect": de gedachte dat de luchtverplaatsing van een vlindervleugel in Brazilië, weken later, mede bepalend zou kunnen zijn voor het al dan niet ontstaan van een tornado in Texas. Niet omdat die vlinder de tornado veroorzaakt, maar omdat in een chaotisch systeem als de atmosfeer zulke kleine verschillen zich kunnen opstapelen tot grote gevolgen.
Wat is het precies?
Het kernidee van chaostheorie klinkt in eerste instantie tegenstrijdig: het gaat over systemen die deterministisch zijn, wat betekent dat hun gedrag volledig wordt bepaald door vaste natuurkundige of wiskundige regels, zonder toeval. Toch zijn deze systemen in de praktijk onvoorspelbaar. Dat komt door wat onderzoekers "gevoeligheid voor beginvoorwaarden" noemen: een piepklein verschil in de startsituatie groeit exponentieel, dus steeds sneller, uit tot een groot verschil in de uitkomst.
Een handzaam voorbeeld is de logistische kaart, een simpele wiskundige formule die gebruikt wordt om populatiegroei te beschrijven, bijvoorbeeld van een diersoort met een beperkte voedselvoorraad. Bij lage groeisnelheden stabiliseert de populatie zich netjes op een vast aantal. Verhoog je de groeisnelheid geleidelijk, dan gaat de populatie eerst afwisselen tussen twee waarden, dan tussen vier, dan acht, enzovoort: dit heet periodeverdubbeling. Uiteindelijk, bij een bepaalde drempelwaarde, ontstaat er chaos: de populatie springt schijnbaar willekeurig heen en weer, hoewel de onderliggende formule volledig vastligt.
Chaotische systemen bewegen zich vaak niet lukraak door alle mogelijke toestanden, maar blijven binnen een herkenbaar patroon rondzweven, een zogeheten aantrekker (attractor). Denk aan het weer: het is nooit exact te voorspellen, maar het blijft wel altijd "weer-achtig" gedrag vertonen binnen bepaalde grenzen. Nauw verwant aan chaostheorie zijn fractals: meetkundige patronen die op elke vergrotingsschaal vergelijkbare structuren tonen. De bekendste is de Mandelbrot-verzameling, genoemd naar de wiskundige Benoit Mandelbrot, die werkzaam was bij IBM en dit patroon in 1980 met een computer zichtbaar maakte. Fractals en chaos delen de gevoeligheid voor kleine verschillen en de combinatie van eenvoudige regels met complexe uitkomsten.
Wat wil men ermee bereiken?
Chaostheorie is niet ontwikkeld om iets te "bouwen" in de zin van een technologie, maar om iets fundamenteels te begrijpen: waarom zoveel systemen in de natuur, van het weer tot het hart, van planeetbanen tot beurskoersen, zich onvoorspelbaar gedragen terwijl ze toch aan vaste wetten gehoorzamen. Dat inzicht heeft concrete toepassingen.
In de meteorologie helpt chaostheorie om niet langer te doen alsof één weersvoorspelling de waarheid is, maar om de onzekerheid zelf te berekenen en te communiceren. In de geneeskunde onderzoekt men of chaotische patronen in hartritme of hersenactiviteit kunnen helpen om afwijkingen vroeg te herkennen. In de ruimtevaart maakt men juist gebruik van de instabiliteit van bepaalde banen om met minder brandstof van de ene naar de andere baan te "glijden". En in bredere zin helpt chaostheorie wetenschappers om te accepteren dat perfecte voorspelbaarheid in veel systemen geen kwestie is van onvoldoende kennis of rekenkracht, maar een fundamentele eigenschap van het systeem zelf.
Voorbeelden uit de praktijk
De geboorte van het vakgebied wordt meestal toegeschreven aan Edward Lorenz, die in 1961 aan het Massachusetts Institute of Technology (MIT) met een computer weerpatronen simuleerde en per toeval de gevoeligheid voor beginvoorwaarden ontdekte, zoals hierboven beschreven. Hij publiceerde zijn bevindingen in 1963 in het artikel "Deterministic Nonperiodic Flow", en in 1972 hield hij een lezing met de veelzeggende titel "Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas?", waarmee de term vlindereffect ingeburgerd raakte.
In de biologie zorgde de Australische onderzoeker Robert May voor een doorbraak met zijn artikel "Simple mathematical models with very complicated dynamics", gepubliceerd in 1976 in het tijdschrift Nature. Hij liet zien dat de simpele logistische kaart, gebruikt om populaties te modelleren, bij bepaalde parameters compleet chaotisch gedrag oplevert. Rond dezelfde tijd, tussen 1975 en 1978, ontdekte de natuurkundige Mitchell Feigenbaum dat de manier waarop systemen via periodeverdubbeling in chaos terechtkomen, een universeel getalspatroon volgt: de zogeheten Feigenbaum-constanten, die in heel verschillende soorten systemen terugkeren.
Een van de meest tot de verbeelding sprekende praktijktoepassingen komt uit de ruimtevaart. De Amerikaanse wiskundige Edward Belbruno paste chaostheorie toe om zogeheten "low-energy transfers" te berekenen: ruimtevaartroutes die gebruikmaken van instabiele zones in de zwaartekracht tussen hemellichamen om met veel minder brandstof van baan te wisselen. Deze aanpak werd in 1991 gebruikt om de Japanse maanmissie Hiten te redden nadat die door brandstofgebrek dreigde te mislukken, en later opnieuw toegepast bij NASA's Genesis-missie (2001-2004), die zonnewinddeeltjes verzamelde.
Ook in de weersvoorspelling is chaostheorie inmiddels praktijk geworden. Het Europees Centrum voor Middellange-Termijn Weersvoorspellingen (ECMWF) in Reading, Verenigd Koninkrijk, draait sinds begin jaren negentig niet één, maar tientallen licht verschillende simulaties van hetzelfde weersysteem, een methode die "ensemble forecasting" heet. Door te kijken hoe sterk die simulaties na verloop van tijd uiteenlopen, krijgt men een directe maat voor hoe betrouwbaar een voorspelling is.
Hoe ver is de techniek?
Chaostheorie is geen opkomende technologie meer, maar een volwassen, gevestigd onderdeel van de wiskunde en natuurkunde. De wortels liggen al rond 1900 bij de Franse wiskundige Henri Poincaré, die tijdens zijn werk aan het zogeheten drielichamenprobleem (de bewegingen van drie hemellichamen die elkaar met zwaartekracht beïnvloeden) als eerste doorhad dat kleine verschillen in de beginsituatie tot totaal verschillende banen konden leiden. Pas vanaf de jaren zestig, met de komst van computers die dit soort berekeningen snel konden herhalen, groeide dit inzicht uit tot een zelfstandig vakgebied.
Inmiddels is chaostheorie standaardgereedschap in meteorologie, natuurkunde, biologie, techniek en delen van de economie. Belangrijk om eerlijk te benoemen: chaos is geen probleem dat met betere computers of meer data "opgelost" kan worden. De onvoorspelbaarheid zit in de aard van het systeem zelf, niet in een gebrek aan rekenkracht. Daarom verbetert weersvoorspelling wel gestaag in nauwkeurigheid en in de periode waarover ze betrouwbaar is, maar zal een voorspelling voor over drie maanden vermoedelijk nooit exact worden: na een bepaald aantal dagen wint de chaotische gevoeligheid het altijd van de precisie van de metingen. Dat is geen tijdelijke beperking, maar een blijvend kenmerk van dit soort systemen.
Wie werken eraan?
Onderzoek naar chaotische systemen vindt wereldwijd plaats binnen wiskunde- en natuurkundefaculteiten van universiteiten. Het MIT geldt, mede dankzij Lorenz, als een van de bakermatten van het vakgebied. Het Santa Fe Institute in de Verenigde Staten, opgericht in 1984, is een gespecialiseerd onderzoeksinstituut voor complexiteitswetenschap, waarbinnen chaostheorie een centrale rol speelt naast onderwerpen als netwerken en zelforganisatie.
Op het gebied van toepassingen speelt het ECMWF in Reading een sleutelrol in de operationele weersvoorspelling, en gebruiken nationale weerdiensten zoals het Nederlandse KNMI vergelijkbare ensembletechnieken om onzekerheidsmarges in hun voorspellingen te berekenen. In de ruimtevaart passen instituten als het NASA Jet Propulsion Laboratory (JPL) chaostheorie toe bij het ontwerpen van brandstofzuinige ruimtevaarttrajecten. Daarnaast onderzoeken medische centra, onder meer verbonden aan Harvard Medical School, of chaostheorie-achtige technieken kunnen helpen bij het herkennen van afwijkende hartritmes. Ook Nederlandse universiteiten houden zich, als onderdeel van bredere onderzoeksgroepen in de niet-lineaire dynamica en toegepaste wiskunde, bezig met chaotische systemen, al is dit doorgaans verweven met andere onderzoeksthema's in plaats van een apart, afgebakend vakgebied.