Het ABC-vermoeden: een simpele optelsom met verstrekkende gevolgen
Stel je voor: je neemt twee getallen die niets met elkaar delen (geen gemeenschappelijke factoren) en telt ze bij elkaar op. Bijvoorbeeld 5 + 16 = 21. Zo'n simpele som lijkt niets bijzonders, maar wiskundigen ontdekten dat er een verborgen regel schuilt in de priemfactoren van zulke getallen. Het ABC-vermoeden beschrijft die regel, en als hij klopt, opent dat de deur naar oplossingen voor tientallen andere onopgeloste vraagstukken in de getaltheorie.
Het vermoeden gaat over de vraag hoe "schoon" of "rommelig" de priemfactoren van a, b en c zijn wanneer a + b = c. Sommige optelsommen leveren een uitkomst op die verrassend groot is ten opzichte van de priemgetallen waaruit a, b en c zijn opgebouwd; andere niet. Het ABC-vermoeden zegt dat de eerste soort, de "verrassende" gevallen, uiteindelijk zeldzaam moet zijn. Dat klinkt abstract, maar de gevolgen raken aan beroemde stellingen zoals de laatste stelling van Fermat.
Wat is het precies?
Om het vermoeden te snappen heb je één begrip nodig: de radicaal van een getal. De radicaal van een getal is het product van al zijn verschillende priemfactoren, elk maar één keer geteld. De radicaal van 18 (= 2 × 3 × 3) is dus 2 × 3 = 6, want je telt de 3 maar één keer. De radicaal van 1000 (= 2³ × 5³) is 2 × 5 = 10.
Het ABC-vermoeden, geformuleerd in 1985 door de Franse wiskundige Joseph Oesterlé en de Britse wiskundige David Masser, gaat over drietallen positieve gehele getallen a, b en c waarbij a + b = c en waarbij a en b geen gemeenschappelijke priemfactoren hebben. Vermenigvuldig je a, b en c met elkaar en neem je daarvan de radicaal, dan geeft dat een getal dat we rad(abc) noemen.
In bijna alle gevallen is c kleiner dan rad(abc). Maar er bestaan uitzonderingen, drietallen waarbij c juist groter is dan rad(abc). Het ABC-vermoeden stelt dat zulke uitzonderingen weliswaar oneindig vaak kunnen voorkomen, maar dat c nooit veel groter kan worden dan rad(abc) tot een macht net boven de 1. Preciezer: voor elk klein getal ε (epsilon) groter dan nul bestaan er slechts eindig veel drietallen (a,b,c) waarvoor c groter is dan rad(abc) tot de macht (1+ε). Hoe kleiner je ε kiest, hoe zeldzamer de uitzonderingen worden, maar helemaal verdwijnen doen ze niet.
Wiskundigen drukken dit ook uit met een "kwaliteitsgetal" q(a,b,c) = log(c) / log(rad(abc)). Voor de meeste drietallen ligt q ruim onder 1. Het huidige record staat op naam van de Franse wiskundige Éric Reyssat: 2 + 3¹⁰ × 109 = 23⁵, met een kwaliteit van ongeveer 1,6299. Zulke extreme drietallen zijn zeldzaam en juist daarom interessant.
Wat wil men ermee bereiken?
Het ABC-vermoeden is geen doel op zich, maar een soort sleutel. Als het bewezen wordt, volgen daaruit direct (of met relatief weinig extra werk) bewijzen of sterk verbeterde resultaten voor een hele reeks andere problemen in de getaltheorie. Denk aan een verkorte, effectieve versie van de laatste stelling van Fermat, aan uitspraken over zogeheten Wieferich-priemgetallen, en aan vragen over hoe vaak polynomen kwadraatvrije waarden aannemen.
De aantrekkingskracht zit in de eenvoud van de uitspraak tegenover de rijkdom aan gevolgen. Er zijn maar weinig stellingen in de wiskunde die met een schoolbord-simpele optelsom zoveel diepere structuren blootleggen. Voor onderzoekers is het daarom een van de meest gewilde open problemen in de moderne getaltheorie, ook al levert het geen directe technologische toepassing op zoals encryptie dat wel doet.
Voorbeelden uit de praktijk
Omdat het hier om zuivere wiskunde gaat, bestaan de "praktijkvoorbeelden" vooral uit onderzoeksprojecten en concrete rekenexperimenten:
- ABC@Home (vanaf 2006): een gedistribueerd rekenproject, opgezet vanuit de Universiteit Leiden, waarbij vrijwilligers via hun eigen computers meehielpen zoeken naar ABC-drietallen met een hoge kwaliteit q. Het project leverde tienduizenden nieuwe voorbeelden op en hielp wiskundigen inschatten hoe het vermoeden zich in de praktijk gedraagt.
- Het Reyssat-drietal (jaren '80): 2 + 3¹⁰ × 109 = 23⁵ blijft decennia later nog steeds het bekendste voorbeeld met de hoogste kwaliteit, en wordt in vrijwel elk overzichtsartikel over het ABC-vermoeden aangehaald.
- Shinichi Mochizuki's IUT-theorie (2012): de Japanse wiskundige publiceerde in 2012 vier lange artikelen waarin hij claimde het ABC-vermoeden te bewijzen met een geheel nieuw wiskundig raamwerk, de "Inter-universal Teichmüller theory" (IUT). Dit is het bekendste, maar ook het meest omstreden voorbeeld uit de recente geschiedenis van het onderwerp.
- De review en publicatie in Kyoto (2018-2021): na jarenlange interne beoordeling door het tijdschrift van het Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) in Kyoto, waar Mochizuki zelf werkt, werden zijn artikelen in 2021 gepubliceerd in Publications of the RIMS. Dit gebeurde ondanks aanhoudende twijfels uit de rest van de wiskundige gemeenschap.
- Het tegenrapport van Scholze en Stix (2018): de Duitse wiskundigen Peter Scholze (Bonn) en Jakob Stix (Frankfurt) bezochten Mochizuki persoonlijk en publiceerden daarna een gedetailleerd rapport waarin ze een specifieke stap in het bewijs ("Corollary 3.12") als onvoldoende onderbouwd bestempelden.
Hoe ver is de techniek?
Dit is het punt waarop eerlijkheid over onzekerheid het belangrijkst is: het ABC-vermoeden wordt door de overgrote meerderheid van de internationale wiskundige gemeenschap nog altijd als onbewezen beschouwd. Mochizuki's publicatie in 2021 veranderde daar weinig aan buiten zijn directe kring van medewerkers en het Japanse instituut waar hij werkt.
Het kernprobleem is dat IUT-theorie zo'n nieuw en ongebruikelijk wiskundig raamwerk introduceert dat slechts een handvol mensen ter wereld de duizenden pagina's aan technisch werk grondig kan volgen. Scholze en Stix identificeerden in 2018 een stap die zij als een cirkelredenering of op zijn minst als onvoldoende bewezen beschouwen; Mochizuki en zijn medestanders zijn het daar nadrukkelijk mee oneens en stellen dat critici de theorie verkeerd interpreteren. Dit meningsverschil is tot op heden niet opgelost.
Buiten deze controverse om gaat het reguliere onderzoek door: wiskundigen bewijzen zwakkere, "effectieve" of gedeeltelijke versies van het vermoeden, verzamelen met computerkracht meer voorbeelden van extreme drietallen, en onderzoeken varianten van het vermoeden in aanverwante wiskundige structuren (zoals over functielichamen in plaats van gehele getallen, waar wel bewezen resultaten bestaan). Een algemeen aanvaard bewijs voor de oorspronkelijke, klassieke versie van het ABC-vermoeden ontbreekt echter nog altijd.
Wie werken eraan?
Het ABC-vermoeden zelf komt uit Europa: Joseph Oesterlé (Frankrijk) en David Masser (destijds verbonden aan onder meer Britse en Zwitserse universiteiten) formuleerden het onafhankelijk van elkaar in het midden van de jaren tachtig.
Shinichi Mochizuki, verbonden aan het Research Institute for Mathematical Sciences (RIMS) van de Kyoto University in Japan, is al meer dan tien jaar de centrale figuur rond de meest besproken bewijspoging. Zijn werk wordt kritisch gevolgd door onder anderen Peter Scholze (Universiteit Bonn, Duitsland, winnaar van de Fields-medaille) en Jakob Stix (Goethe-Universiteit Frankfurt).
Op het gebied van rekenexperimenten en het verzamelen van voorbeelden speelde de Universiteit Leiden in Nederland, met onder meer wiskundige Frits Beukers, een belangrijke rol via het ABC@Home-project. Verder buigen getaltheoretici wereldwijd, van de Verenigde Staten (onder meer Andrew Granville) tot Europa en Japan, zich over deelresultaten en aanverwante vermoedens.